Nunca jamás dudes entre existían y el término exixtían cuando debas escribir, puesto que únicamente nos encontramos con una manera posible para escribir este término adecuadamente, y es: existían. La palabra exixtían simplemente no corresponde a ninguna palabra que se encuentre en el diccionario de la RAE.
Con el fin de que te sea más fácil recordar el modo en que es preciso escribir existían, su definición del diccionario:
La inseguridad a la hora de escribir vocablos que incluyen las letras ‘c’ y ‘z’ ocurre con más asiduidad en aquellas áreas en que las dos se pronuncian igual. Esto es sobre todo en los países de Latinoamérica en los que se habla castellano, pero también en algunas áreas del sur de la Península Ibérica y las Islas Canarias. No deseamos mostrar teorías con relación al porqué de este modo de pronunciar, ya que no se trata del objetivo de este sitio web, solamente deseamos indicar que sea como fuere, esta manera de pronunciar está aceptada.
De igual modo {hay que precisar|es preciso decir que la confusión entre ‘c’ y ‘z’ solamente puede darse en ciertas circunstancias, ya que la ‘z’ exclusivamente se escribe cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’. Mientras que la ‘c’ cuando va delante de las vocales ‘a’, ‘o’ y ‘u’ jamás se debe de pronunciar de modo semejante a /s/, sino que suena como /k/, por lo cual no tendría que haber ningún tipo de confusión en estos casos. De esta manera debemos rechazar otras formas, lo cual simplifica la redacción si tenemos las normas claras. A pesar de todo, al ser una errata con frecuencia derivada de no distinguir a la hora de pronunciar las letras ‘c’ y ‘z’, quisiéramos recomendarte escuchar cómo se pronuncian las palabras en castellano de la Península Ibérica estándar, como forma de aprender a diferenciar en qué momento es necesario escribir la letra ‘c’ y cuándo la letra ‘z’. Y indudablemente, seguir esta web y estudiar las reglas de ortografía que hemos recopilado para ti en el inicio de este sitio. De esta manera nunca más sentirás dudas sobre si la palabra que deseas escribir se escribe existían o se trata de la palabra exixtían.